sin(x + y) = ln(x + y) হলে $\frac{dy}{dx}=?$

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(\sin(x + y) = \ln(x + y)\)

আমরা এই সমীকরণটিকে \(x\)-এর সাপেক্ষে উভয় পাশে অন্তরীকরণ করব। এখানে \(y\) হলো \(x\)-এর একটি অন্তর্নিহিত ফাংশন, তাই আমরা পর্যায়ক্রমিক নিয়ম (Chain Rule) ব্যবহার করব।

বাম পাশ অন্তরীকরণ:

\(\frac{d}{dx}[\sin(x + y)] = \cos(x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y)\)

\(= \cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})\)

ডান পাশ অন্তরীকরণ:

\(\frac{d}{dx}[\ln(x + y)] = \frac{1}{x + y} \cdot \frac{d}{dx}(x + y)\)

\(= \frac{1}{x + y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})\)

এখন, উভয় অন্তরীকৃত অংশকে সমান ধরে পাই:

\(\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{x + y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})\)

সমীকরণটিকে পুনর্বিন্যাস করে \(1 + \frac{dy}{dx}\) পদটিকে কমন নিলে পাই:

\(\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) - \frac{1}{x + y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 0\)

\((1 + \frac{dy}{dx}) \left[ \cos(x + y) - \frac{1}{x + y} \right] = 0\)

এই সমীকরণটি সত্য হওয়ার জন্য দুটি শর্তের যেকোনো একটি পূরণ হতে হবে:

    
1. \((1 + \frac{dy}{dx}) = 0\)
    
2. \(\cos(x + y) - \frac{1}{x + y} = 0\)

যদি \( \cos(x + y) - \frac{1}{x + y} \neq 0 \) হয় (যা সাধারণত অন্তর্নিহিত অন্তরীকরণের ক্ষেত্রে ধরে নেওয়া হয়, যদি না অন্য কোনো নির্দিষ্ট শর্ত দেওয়া থাকে), তাহলে অবশ্যই প্রথম শর্তটি পূরণ হতে হবে:

\(1 + \frac{dy}{dx} = 0\)

\(\frac{dy}{dx} = -1\)